设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．

admin2017-11-13 57

问题设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度

，求L的方程．

选项

答案设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)一xy’(x))，又 [*]=x²+[y(x)一(y(x)一xy’(x))]² =x²+x²y’²， [*]=(y一xy’)²，按题意得 x²+x²y’²=(y一xy’)²，即 2xyy’一y²=一x²． [*] 这是伯努利方程(也是齐次方程)[*] 对z=y²而言这是一阶线性方程，两边乘积分因子[*]，得 [*]

解析

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考研数学一

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