设f(u)有连续的二阶导数且z=f(exsiny)满足方程，求f(u).

admin2016-10-20 41

问题设f(u)有连续的二阶导数且z=f(e^xsiny)满足方程

，求f(u).

选项

答案令u=e^xsiny，则有 [*] 由已知条件，得f’’(u)e^2x=e^2xf(u)，即f’’(u)-f(u)=0．此二阶常系数方程的特征方程是λ²-1=0，特征根λ=±1，故f(u)=C₁e^u+C₂e^-u，其中C₁和C₂是两个任意常数．

解析 z=f(e^xsiny)是z=f(u)与u=e^xsiny的复合函数，由复合函数求导法可导出

与f’(u)，f’’(u)的关系式，从而由

导出f(u)满足的微分方程式，然后解出f(u)．

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