2. 考研
  3. ①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)＋r(β1，β2，…，βt)． ②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A ｜B)≤r(A)＋r(B)．

①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)＋r(β1，β2，…，βt)． ②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A ｜B)≤r(A)＋r(B)．

admin2018-08-12  50
问题 ①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)＋r(β1，β2，…，βt)．
    ②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A ｜B)≤r(A)＋r(B)．
    ③设A和B是两个列数相同的矩阵，()表示A在上，B在下构造的矩阵．
    证明r(*)≤r(A)＋r(B)．
选项
答案这是3个互相等价的命题：①是②的向量形式；③是②的转置形式．因此对其中之一的证明就完成了这3个命题的证明． 证明①．取{α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt}的一个最大无关组(Ⅰ)，记(Ⅰ)t是(Ⅰ)中属于α1，α2，…，αs中的那些向量所构成的部分组，(Ⅰ)2是(Ⅰ)中其余向量所构成的部分组．于是(Ⅰ)1和(Ⅰ)2分别是属于α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过r(α1，α2，…，αs)和r(β1，β2，…，βt)．从而 r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)＝(Ⅰ)中向量个数 ＝(Ⅰ)1中向量个数＋(Ⅰ)2中向量个数 ≤r(α1，α2，…，αs)＋r(β1，β2，…，βt)．
解析
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考研数学二

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