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设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,又 F(x)=∫axf(t)dt+∫6x 证明: (1)F’(x)≥2; (2)F(x)=0在[a,b]内有且仅有一个实根.
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,又 F(x)=∫axf(t)dt+∫6x 证明: (1)F’(x)≥2; (2)F(x)=0在[a,b]内有且仅有一个实根.
admin
2016-12-16
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问题
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,又
F(x)=∫
a
x
f(t)dt+∫
6
x
证明:
(1)F’(x)≥2;
(2)F(x)=0在[a,b]内有且仅有一个实根.
选项
答案
(1)[*] 由于[f (x)一1]
2
≥0,有f
2
(x)+1≥2f(x),于是F’(x)≥2. (2)因F’(x)≥2,故F(x)在[a,b]上单调增加,所以F(x)=0在[a,b]上至多有一个实根,又 [*] 由介值定理知,F(x)在[a,b]上至少有一个实根。综上所述,F(x)在[a,b]上有且仅有一个实根.
解析
(1)利用不等式a
2
+b
2
≥2ab证之;
(2)利用F(a)<0,F(b)>0及介值定理证之.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/RnH4777K
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考研数学三
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