2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，又 F(x)=∫axf(t)dt+∫6x 证明： (1)F’(x)≥2； (2)F(x)=0在[a，b]内有且仅有一个实根．

设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，又 F(x)=∫axf(t)dt+∫6x 证明： (1)F’(x)≥2； (2)F(x)=0在[a，b]内有且仅有一个实根．

admin2016-12-16  58
问题 设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，又
F(x)=∫axf(t)dt+∫6x
证明：
(1)F’(x)≥2；
(2)F(x)=0在[a，b]内有且仅有一个实根．
选项
答案(1)[*] 由于[f (x)一1]2≥0，有f2(x)+1≥2f(x)，于是F’(x)≥2． (2)因F’(x)≥2，故F(x)在[a，b]上单调增加，所以F(x)=0在[a，b]上至多有一个实根，又 [*] 由介值定理知，F(x)在[a，b]上至少有一个实根。综上所述，F(x)在[a，b]上有且仅有一个实根．
解析 (1)利用不等式a2+b2≥2ab证之；
(2)利用F(a)＜0，F(b)＞0及介值定理证之．
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考研数学三

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