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设f(x)在[a,b]上有二阶导数,又f(a)=f(b)=0,且f′(a)f′(b)>0.证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0;又至少存在一点η∈(a,b),使得f(η)=0.
设f(x)在[a,b]上有二阶导数,又f(a)=f(b)=0,且f′(a)f′(b)>0.证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0;又至少存在一点η∈(a,b),使得f(η)=0.
admin
2015-12-22
42
问题
设f(x)在[a,b]上有二阶导数,又f(a)=f(b)=0,且f′(a)f′(b)>0.证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0;又至少存在一点η∈(a,b),使得f(η)=0.
选项
答案
由导数定义及其极限的保号性可找到两点x
1
,x
2
,使f(x
1
)f(x
2
)<0.由零点定理知,存在ξ,使f(ξ)=0.现有三点函数取值为0,两次利用罗尔定理,例得证. 证 由f′(a)f′(b)>0,不妨设f′(a)>0,且f′(b)>0.由导数定义知 [*] 因此存在δ
1
>0,使得当x∈(a,a+δ
1
)时,有 [*] 因为x>a,故有 f(x)>f(a), 即 f(x)>0, x∈(a,a+δ
1
). 又由于 [*] 故存在δ
2
>0,使得当x∈(b一δ
2
,b)时,有 [*] 因为x<b,所以 f(x)<f(b), 即 f(x)<0,x∈(b一δ
2
,b). 取δ
1
,δ
2
充分小,使a+δ
1
<b一δ
2
.再取两点 x
1
∈(a,a+δ
1
), x
2
∈(b一δ
2
,b), 考虑区间[x
1
,x
2
].显然f(x)在[x
1
,x
2
]上连续,且 f(x
1
)>0, f(x
2
)<0. 因此由连续函数介值定理知,至少存在一点ξ∈(x
1
,x
2
),从而ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 再由f(a)=f(ξ)=f(b)及罗尔定理知,至少存在η
1
∈(a,ξ)和η
2
∈(ξ,b),使得 f′(η
1
)=f′(η
2
)=0. 又在区间[η
1
,η
2
]上应用罗尔定理,便知至少存在[*],使得f″(η)=0.
解析
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考研数学二
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