2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上有二阶导数，又f(a)=f(b)=0，且f′(a)f′(b)＞0．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0；又至少存在一点η∈(a，b)，使得f(η)=0．

设f(x)在[a，b]上有二阶导数，又f(a)=f(b)=0，且f′(a)f′(b)＞0．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0；又至少存在一点η∈(a，b)，使得f(η)=0．

admin2015-12-22  27
问题 设f(x)在[a，b]上有二阶导数，又f(a)=f(b)=0，且f′(a)f′(b)＞0．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0；又至少存在一点η∈(a，b)，使得f(η)=0．
选项
答案由导数定义及其极限的保号性可找到两点x1，x2，使f(x1)f(x2)＜0．由零点定理知，存在ξ，使f(ξ)=0．现有三点函数取值为0，两次利用罗尔定理，例得证． 证 由f′(a)f′(b)＞0，不妨设f′(a)＞0，且f′(b)＞0．由导数定义知 [*] 因此存在δ1＞0，使得当x∈(a，a+δ1)时，有 [*] 因为x＞a，故有 f(x)＞f(a)， 即 f(x)＞0， x∈(a，a+δ1)． 又由于 [*] 故存在δ2＞0，使得当x∈(b一δ2，b)时，有 [*] 因为x＜b，所以 f(x)＜f(b)， 即 f(x)＜0，x∈(b一δ2，b)． 取δ1，δ2充分小，使a+δ1＜b一δ2．再取两点 x1∈(a，a+δ1)， x2∈(b一δ2，b)， 考虑区间[x1，x2]．显然f(x)在[x1，x2]上连续，且 f(x1)＞0， f(x2)＜0． 因此由连续函数介值定理知，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，从而ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0． 再由f(a)=f(ξ)=f(b)及罗尔定理知，至少存在η1∈(a，ξ)和η2∈(ξ，b)，使得 f′(η1)=f′(η2)=0． 又在区间[η1，η2]上应用罗尔定理，便知至少存在[*]，使得f″(η)=0．
解析
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考研数学二

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