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  3. 已知A=．求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

已知A=．求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

admin2015-04-30  51
问题 已知A=．求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．
选项
答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得到A的特征值是λ1=1一a，λ2=0，λ3=a+1． 由[(1一a)E—A]x=0，[*] 得到属于λ1=1一a的特征向量是α1=k1(1，0，1)T，k1≠0． 由[(aE一A) x=0，[*] 得到属于λ2=a的特征向量是α2=k2(1，1—2a，1)T，k2≠0． 由[(a+1)E一A]x=0，[*] 得到属于λ3=a+1的特征向量α3=k3(2一a，一4a，a+2)T，k3≠0． 如果λ1，λ2，λ3互不相同，即1一a≠a，1一a≠a+1，a≠a+1，即a≠[*]且a≠0，则矩阵A有3个不同的特征值，A可以相似对角化． 若[*]，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化． 若a=0，即λ1=λ3=1，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．
解析
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考研数学二

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