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已知A=.求A的特征值与特征向量,并指出A可以相似对角化的条件.
已知A=.求A的特征值与特征向量,并指出A可以相似对角化的条件.
admin
2015-04-30
33
问题
已知A=
.求A的特征值与特征向量,并指出A可以相似对角化的条件.
选项
答案
由矩阵A的特征多项式 [*] 得到A的特征值是λ
1
=1一a,λ
2
=0,λ
3
=a+1. 由[(1一a)E—A]x=0,[*] 得到属于λ
1
=1一a的特征向量是α
1
=k
1
(1,0,1)
T
,k
1
≠0. 由[(aE一A) x=0,[*] 得到属于λ
2
=a的特征向量是α
2
=k
2
(1,1—2a,1)
T
,k
2
≠0. 由[(a+1)E一A]x=0,[*] 得到属于λ
3
=a+1的特征向量α
3
=k
3
(2一a,一4a,a+2)
T
,k
3
≠0. 如果λ
1
,λ
2
,λ
3
互不相同,即1一a≠a,1一a≠a+1,a≠a+1,即a≠[*]且a≠0,则矩阵A有3个不同的特征值,A可以相似对角化. 若[*],此时A只有一个线性无关的特征向量,故A不能相似对角化. 若a=0,即λ
1
=λ
3
=1,此时A只有一个线性无关的特征向量,故A不能相似对角化.
解析
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考研数学二
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