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  3. 设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )

设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )

admin2020-03-01  15
问题 设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则(    )
选项 A、λE一A=λE—B。
B、A与B有相同的特征值和特征向量。
C、A和B都相似于一个对角矩阵。
D、对任意常数t，tE一A与tE一B相似。
答案D
解析 因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确。对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确。综上可知选项D正确。事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P-1AP=B．于是   P一1(tE—A)P=tE—P一1AP=tE一B，可见对任意常数t，矩阵tE一A与tE一B相似。所以应选D。
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考研数学二

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