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设f(x)在[0,1]可导,0<f’(x)<1,0<f(x)<1,且F(x)=1/2[x+f(x)]。 证明:方程F(x)=x在(0,1)内有唯一实根ξ
设f(x)在[0,1]可导,0<f’(x)<1,0<f(x)<1,且F(x)=1/2[x+f(x)]。 证明:方程F(x)=x在(0,1)内有唯一实根ξ
admin
2021-12-14
52
问题
设f(x)在[0,1]可导,0<f’(x)<1,0<f(x)<1,且F(x)=1/2[x+f(x)]。
证明:方程F(x)=x在(0,1)内有唯一实根ξ
选项
答案
令G(x)=F(x)-x=1/2[f(x)-x],则G(0)>0,G(1)<0,故由零点定理,可知存在一点ξ∈(0,1),使得G(ξ)=F(ξ)-ξ=0,即F(ξ)=ξ,又由G’(x)=1/2[f’(x)-1]<0,知G(x)在[0,1]上严格单凋减少,故方程F(x)=x在(0,1)内有唯一实根ξ。
解析
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考研数学二
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