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求f(x,y,z)=2x+2y一z2+5在区域Ω:x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.
求f(x,y,z)=2x+2y一z2+5在区域Ω:x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.
admin
2015-12-22
60
问题
求f(x,y,z)=2x+2y一z
2
+5在区域Ω:x
2
+y
2
+z
2
≤2上的最大值与最小值.
选项
答案
求解条件最值应用问题的方法和步骤如下: (1)由实际问题找出目标函数与约束条件; (2)构造拉格朗日函数,用拉格朗日乘数法求解,转化为求拉格朗日函数的驻点.根据实际问题知,条件最大值或条件最小值存在,由求得的驻点可得相应的最值. 证 f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续,一定存在最大值、最小值. 第一步,先求f(x,y,z)在Ω上的驻点. 由[*]得f(x,y,z)在Ω上无驻点,因此f(x,y,z)在Ω上的最大值、最小值都只能在Ω的边界上达到. 第二步,求f(x,y,z)在Ω的边界x
2
+y
2
+z
2
=2上的最大值、最小值. 令F(x,y,z,λ)=2x+2y—z
2
+5+λ(x
2
+y
2
+z
2
一2),解方程组 [*] 由式①、式②得x=y;由式③得z=0或λ=1.将x=y,z=0代入式④得 x=y=±1, z=0. 当λ=1时,由式①、式②、式④也得 x=y=一1, z=0. 因此得驻点P
1
(一1,一1,0)与P
2
(1.1,0).经计算得知f(P
1
)=1,f(P
2
)=9. 因此,f(x,y,z)在Ω上的最大值为9,最小值为1.
解析
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考研数学二
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