求f(x，y，z)=2x+2y一z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．

admin2015-12-22 52

问题求f(x，y，z)=2x+2y一z²+5在区域Ω：x²+y²+z²≤2上的最大值与最小值．

选项

答案求解条件最值应用问题的方法和步骤如下： (1)由实际问题找出目标函数与约束条件； (2)构造拉格朗日函数，用拉格朗日乘数法求解，转化为求拉格朗日函数的驻点．根据实际问题知，条件最大值或条件最小值存在，由求得的驻点可得相应的最值．证 f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大值、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω上的驻点．由[*]得f(x，y，z)在Ω上无驻点，因此f(x，y，z)在Ω上的最大值、最小值都只能在Ω的边界上达到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x²+y²+z²=2上的最大值、最小值．令F(x，y，z，λ)=2x+2y—z²+5+λ(x²+y²+z²一2)，解方程组 [*] 由式①、式②得x=y；由式③得z=0或λ=1．将x=y，z=0代入式④得 x=y=±1， z=0．当λ=1时，由式①、式②、式④也得 x=y=一1， z=0．因此得驻点P₁(一1，一1，0)与P₂(1．1，0)．经计算得知f(P₁)=1，f(P₂)=9．因此，f(x，y，z)在Ω上的最大值为9，最小值为1．

解析

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考研数学二

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