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已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+t α4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的一个基础解系。
已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+t α4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的一个基础解系。
admin
2014-06-15
47
问题
已知α
1
，α
2
，α
3
，α
4
是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β
1
=α
1
+tα
2
，β
2
=α
2
+tα
3
，β
3
=α
3
+t α
4
，β
4
=α
4
+tα
1
，讨论实数t满足什么关系时，β
1
，β
2
，β
3
，β
4
也是Ax=0的一个基础解系。
选项
答案
由于β
1
，β
2
，β
3
，β
4
均为α
1
，α
2
，α
3
，α
4
的线性组合，所以β
1
，β
2
，β
3
，β
4
均为Ax=0的解．下面证明β
1
，β
2
，β
3
，β
4
线性无关．设k
1
β
1
，k
2
β
2
，k
3
β
3
，k
4
β
4
=0，即(k
1
+tk
4
)α
1
+(tk
1
+k
2
)α
1
+(tk
2
+k
3
)α
1
+(tk
3
+k
4
)α
4
=0， 由于α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，因此其系数全为零，即 [*]=1-t
4
可见，当1-t
4
≠0，即t≠±1时，上述方程组只有零解k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0，因此向量组β
1
，β
2
，β
3
，β
4
线性无关，又因Ax=0的基础解系是4个向量，故β
1
，β
2
，β
3
，β
4
也是Ax=0的一个基础解系．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SD34777K
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考研数学二
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