2. 考研
  3. 已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+t α4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的一个基础解系。

已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+t α4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的一个基础解系。

admin2014-06-15  56
问题 已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+t α4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的一个基础解系。
选项
答案由于β1，β2，β3，β4均为α1，α2，α3，α4的线性组合，所以β1，β2，β3，β4均为Ax=0的解．下面证明β1，β2，β3，β4线性无关．设k1β1，k2β2，k3β3，k4β4=0，即(k1+tk4)α1+(tk1+k2)α1+(tk2+k3)α1+(tk3+k4)α4=0， 由于α1，α2，α3，α4线性无关，因此其系数全为零，即 [*]=1-t4 可见，当1-t4≠0，即t≠±1时，上述方程组只有零解k1=k2=k3=k4=0，因此向量组β1，β2，β3，β4线性无关，又因Ax=0的基础解系是4个向量，故β1，β2，β3，β4也是Ax=0的一个基础解系．
解析
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考研数学二

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