设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 求正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ=。

admin2018-04-12  47

问题 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。
求正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ=

选项

答案因为A是实对称矩阵,所以α与α1,α2正交,所以只需将α1,α2正交。取 β11, β22-[*]。 再将α,β1,β2单位化,得 [*] 令Q=(η1,η2,η3),则Q-1=QT,由实对称矩阵必可相似对角化,得 QTAQ=[*]。

解析 将实对称矩阵A的特征向量正交化再单位化,以此作为列向量即可得到正交矩阵Q。
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