设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。求正交矩阵Q和对角矩阵，使得QTAQ=。

admin2018-04-12 111

问题设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(一1，2，一1)^T，α₂=(0，一1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解。
求正交矩阵Q和对角矩阵

，使得Q^TAQ=

。

选项

答案因为A是实对称矩阵，所以α与α₁，α₂正交，所以只需将α₁，α₂正交。取 β₁=α₁， β₂=α₂－[*]。再将α，β₁，β₂单位化，得 [*] 令Q=(η₁，η₂，η₃)，则Q^－1=Q^T，由实对称矩阵必可相似对角化，得 Q^TAQ=[*]。

解析将实对称矩阵A的特征向量正交化再单位化，以此作为列向量即可得到正交矩阵Q。

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