求曲线y=x2-2x与直线y=0，x=1，x=3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V。

admin2022-10-25 77

问题求曲线y=x²-2x与直线y=0，x=1，x=3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V。

选项

答案所求面积为S=∫₁³｜f(x)｜dx=∫₁²(2x-x²)dx+∫₂³(x²-2x)dx=(x²-1/3x³)｜₁²+(1/3x³-x²)｜₂³=2；V_y=2π∫₁³x｜f(x)｜dx=2π[∫₁²x(2x-x²)dx+∫₂³(x²-2x)dx]=2π[(2/3x³-1/4x⁴)｜₁²+(1/4x⁴-2/3x³)｜₂³]=9π．

解析

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考研数学三

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设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)＝1．由y＝f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y＝f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．
设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；(2)证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得
计算其中D由曲线｜x｜+｜y｜=1所围成．
设曲线y=xn在点(1，1)处的切线交x轴于点(ξn，0)，求．
设有一物质曲面∑，其面密度为μ(x，y，z)，试用第一类曲面积分表达：(1)曲面对三个坐标轴的转动惯量；(2)曲面对位于∑外一点(xo，yo，xo)处的单位质点的引力．

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