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  3. 设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)＝r(AB)．证明：方程组BX＝0与ABX＝0是同解方程组．

设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)＝r(AB)．证明：方程组BX＝0与ABX＝0是同解方程组．

admin2020-03-10  103
问题 设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)＝r(AB)．证明：方程组BX＝0与ABX＝0是同解方程组．
选项
答案首先，方程组BX＝0的解一定是方程组ABX＝0的解．令r(B)＝r且ξ1，ξ2，…， ξn－r是方程组BX＝0的基础解系，现设方程组ABX＝0有一个解η0不是方程组BX＝0的解，即Bη0≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn－r，…，η0线性相关，则 存在不全为零的常数k1，k2，…，kn－r，k0使得k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn－rξn－r＋k0η0＝0，若k0＝0，则k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn－rξn－r＝0，因为ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，所以k1＝k2…＝kn－r＝0，从而ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn－r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη0＝0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，且为方程组ABX＝0的解，从而n－r(AB)≥n－r＋1，r(AB)≤r－1，这与r(B)＝r(AB)矛盾，故方程组BX＝0与ABX＝0同解．
解析
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考研数学三

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