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设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=0.证明:r(A)+r(B)≤n.
设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=0.证明:r(A)+r(B)≤n.
admin
2020-03-10
65
问题
设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=0.证明:r(A)+r(B)≤n.
选项
答案
令B=(β
1
,β
2
,…,β
s
),因为AB=O,所以B的列向量组β
1
,β
2
,…,β
s
为方程组 AX==0的一组解,而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n-r(A),所以向量组β
1
,β
2
,…,β
s
的秩不超过n-r(A),又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等,因此r(B)≤n-r(A),即r(A)+r(B)≤n.
解析
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考研数学三
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