2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，x＝1是f(x)的极值点且3∫01/3f(x)dx＝f(1/2)。证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)＝0。

设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，x＝1是f(x)的极值点且3∫01/3f(x)dx＝f(1/2)。证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)＝0。

admin2022-04-08  30
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，x＝1是f(x)的极值点且3∫01/3f(x)dx＝f(1/2)。证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)＝0。
选项
答案由于x＝1是f(x)的极值点，所以f’(1)＝0。 因f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，所以由积分中值定理可知，存在η∈[*]，使得 3∫01/3f(x)dx＝3f(η)∫01/3dx＝f(η)， 即 f(η)＝f(1/2)。 又因f(x)在[*]上连续，在[*]内可导， 所以由罗尔定理可知，存在ζ∈[*]，使得 f’(ζ)＝0。 再由f’(x)在[ζ，1]上连续，在(ζ，1)内可导，且f’(ζ)＝f’(1)＝0可知， 存在ξ∈(ζ，1)[*](0，1)，使得 f’’(ξ)＝0。
解析
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考研数学二

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