设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,x=1是f(x)的极值点且3∫01/3f(x)dx=f(1/2)。证明:存在ξ∈(0,1),使得f’’(ξ)=0。

admin2022-04-08  34

问题 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,x=1是f(x)的极值点且3∫01/3f(x)dx=f(1/2)。证明:存在ξ∈(0,1),使得f’’(ξ)=0。

选项

答案由于x=1是f(x)的极值点,所以f(1)=0。 因f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,所以由积分中值定理可知,存在η∈[*],使得 3∫01/3f(x)dx=3f(η)∫01/3dx=f(η), 即 f(η)=f(1/2)。 又因f(x)在[*]上连续,在[*]内可导, 所以由罗尔定理可知,存在ζ∈[*],使得 f(ζ)=0。 再由f(x)在[ζ,1]上连续,在(ζ,1)内可导,且f(ζ)=f(1)=0可知, 存在ξ∈(ζ,1)[*](0,1),使得 f’’(ξ)=0。

解析
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