设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求： (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度fV(v)。

admin2017-01-14 52

问题设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求：
(Ⅰ)U=XY的概率密度f_U(u)；
(Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度f_V(v)。

选项

答案根据X与Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出U、V，的概率密度。 (Ⅰ)分布函数法。根据题设知(X，Y)联合概率密度 [*] 所以U=XY的分布函数为(如图3-3-9所示) F_U(u)=P{XY≤u}=[*] (1)当u≤0时，F_U(u)=0；当u≥1时，F_U(u)=1； (2)当0＜u＜1时， [*] (Ⅱ)公式法。设Z=X-Y=X+(-Y)。其中X与(-Y)独立，概率密度分别为 [*] 根据卷积公式得Z的概率密度 [*] V=｜X-Y｜=｜Z｜的分布函数为F_V(v)=P{｜Z｜≤v}，可得当v≤0时，F_V(v)=0；当v＞0时，F_V(v)=P{-v≤Z≤v}=[*] 由此知，当0＜v＜1时， [*]

解析

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考研数学一

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