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设随机变量X与Y相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,试求: (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v)。
设随机变量X与Y相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,试求: (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v)。
admin
2017-01-14
69
问题
设随机变量X与Y相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,试求:
(Ⅰ)U=XY的概率密度f
U
(u);
(Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度f
V
(v)。
选项
答案
根据X与Y相互独立且密度函数已知,因此可以用两种方法:分布函数法和公式法求出U、V,的概率密度。 (Ⅰ)分布函数法。根据题设知(X,Y)联合概率密度 [*] 所以U=XY的分布函数为(如图3-3-9所示) F
U
(u)=P{XY≤u}=[*] (1)当u≤0时,F
U
(u)=0;当u≥1时,F
U
(u)=1; (2)当0<u<1时, [*] (Ⅱ)公式法。设Z=X-Y=X+(-Y)。其中X与(-Y)独立,概率密度分别为 [*] 根据卷积公式得Z的概率密度 [*] V=|X-Y|=|Z|的分布函数为F
V
(v)=P{|Z|≤v},可得 当v≤0时,F
V
(v)=0;当v>0时,F
V
(v)=P{-v≤Z≤v}=[*] 由此知,当0<v<1时, [*]
解析
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考研数学一
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