2. 考研
  3. 已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．

已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．

admin2015-07-22  48
问题 已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．
选项
答案用反证法．设α1，α2，…，αs，β中任意s个向量组α1，α2，…，αi-1，αi+1，αs，β线性相 关，则存在不全为零的k1，k2，…，ki-1，ki+1，ks，k，使得 k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+ksαs+kβ=0． ① 另一方面，由题设 β=l1α1+l2α2+…+liαi+…+lsαs， 其中li≠0，i=1，2，…，s．代入上式，得 (k1+kl1)α1+(k2+kl2)α2+…+(ki-1+kli-1)αi-1+kliαi+(ki+1+kli+1)αi+1+…+(ks+kls)αs=0．因已 知α1，α2，…，αs线性无关，从而由kli=0，k≠0，故k=0，从而由①式得k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，ks均为0，矛盾。 故α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SMU4777K
0

考研数学三

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)