设A为三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=0，λ2=λ3=1．α1，α2为A的两个不同特征向量，且A(α1+α2)=α2．证明：α1，α2正交．

admin2016-05-17 22

问题设A为三阶实对称矩阵，其特征值为λ₁=0，λ₂=λ₃=1．α₁，α₂为A的两个不同特征向量，且A(α₁+α₂)=α₂．
证明：α₁，α₂正交．

选项

答案若α₁，α₂是属于特征值λ₁=0的特征向量，则A(α₁+α₂)=Aα₁+Aα₂=0≠α₂，矛盾；若α₁，α₂是属于特征值λ₂=λ₃=1的特征向量，则A(α₁+α₂)=Aα₁+Aα₂=α₁+α₂≠α₂，矛盾，从而α₁，α₂是分属于两个不同特征值对应的特征向量，因为A是实对称矩阵，所以α₁，α₂正交．

解析

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