设α1,α2,α3,α4都是3维非零向量，则下列命题中错误的是

admin2016-07-21 70

问题设α₁,α₂,α₃,α₄都是3维非零向量，则下列命题中错误的是

选项 A、如果α₄不能用α₁,α₂,α₃线性表示，则α₁,α₂,α₃线性相关．
B、如果α₁,α₂,α₃线性相关，α₂,α₃,α₄线性相关，则α₁,α₂,α₄线性相关．
C、如果α₃不能用α₁，α₂线性表示，α₄不能用α₂，α₃线性表示，则α₁能用α₂,α₃,α₄线性表示．
D、如果r(α₁，α₁+α₂，α₂+α₃)=r(α₄，α₁+α₄，α₂+α₄，α₃+α₄)，则α₄能用α₁，α₂，α₃线性表示．

答案B

解析只要α₂，α₃线性相关，就有α₁，α₂，α₃和α₂，α₃，α₄都线性相关，但推不出α₁，α₂，α₄线性相关．例如α₁=(1，0，0)，α₂=α₃=(0，1，0)，α₄=(0，0，1)．说明A，C的正确都可根据同一事实：如果3个3维向量线性无关，则任何3维向量都可以用它们线性表示．A是其逆否命题．C：α₂是非零向量，α₃不能用α₂线性表示(因为α₃不能用α₁，α₂线性表示)，则α₂，α₃线性无关．而α₄不能用α₂，α₃线性表示，α₂，α₃，α₄线性无关．D：r(α₁，α₂，α₃)=r(α₁，α₁+α₂，α₂+α₃) =r(α₄，α₁+α₄，α₂+α₄，α₃+α₄)=r(α₄，α₁,α₂,α₃)，因此α₄能用α₁,α₂,α₃线性表示．

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考研数学二

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