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  3. 设α1,α2,α3,α4都是3维非零向量，则下列命题中错误的是

设α1,α2,α3,α4都是3维非零向量，则下列命题中错误的是

admin2016-07-21  22
问题 设α1,α2,α3,α4都是3维非零向量，则下列命题中错误的是
选项 A、如果α4不能用α1,α2,α3线性表示，则α1,α2,α3线性相关．
B、如果α1,α2,α3线性相关，α2,α3,α4线性相关，则α1,α2,α4线性相关．
C、如果α3不能用α1，α2线性表示，α4不能用α2，α3线性表示，则α1能用α2,α3,α4线性表示．
D、  如果r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4能用α1，α2，α3线性表示．
答案B
解析 只要α2，α3线性相关，就有α1，α2，α3和α2，α3，α4都线性相关，但推不出α1，α2，α4线性相关．例如α1=(1，0，0)，α2=α3=(0，1，0)，α4=(0，0，1)．说明A，C的正确都可根据同一事实：如果3个3维向量线性无关，则任何3维向量都可以用它们线性表示．A是其逆否命题．C：α2是非零向量，α3不能用α2线性表示(因为α3不能用α1，α2线性表示)，则α2，α3线性无关．而α4不能用α2，α3线性表示，α2，α3，α4线性无关．D：r(α1，α2，α3)=r(α1，α1+α2，α2+α3)  =r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)=r(α4，α1,α2,α3)，因此α4能用α1,α2,α3线性表示．
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考研数学二

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