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设α1,α2,α3,α4都是3维非零向量，则下列命题中错误的是
设α1,α2,α3,α4都是3维非零向量，则下列命题中错误的是
admin
2016-07-21
32
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
都是3维非零向量，则下列命题中错误的是
选项
A、如果α
4
不能用α
1
,α
2
,α
3
线性表示，则α
1
,α
2
,α
3
线性相关．
B、如果α
1
,α
2
,α
3
线性相关，α
2
,α
3
,α
4
线性相关，则α
1
,α
2
,α
4
线性相关．
C、如果α
3
不能用α
1
，α
2
线性表示，α
4
不能用α
2
，α
3
线性表示，则α
1
能用α
2
,α
3
,α
4
线性表示．
D、 如果r(α
1
，α
1
+α
2
，α
2
+α
3
)=r(α
4
，α
1
+α
4
，α
2
+α
4
，α
3
+α
4
)，则α
4
能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示．
答案
B
解析
只要α
2
，α
3
线性相关，就有α
1
，α
2
，α
3
和α
2
，α
3
，α
4
都线性相关，但推不出α
1
，α
2
，α
4
线性相关．例如α
1
=(1，0，0)，α
2
=α
3
=(0，1，0)，α
4
=(0，0，1)．说明A，C的正确都可根据同一事实：如果3个3维向量线性无关，则任何3维向量都可以用它们线性表示．A是其逆否命题．C：α
2
是非零向量，α
3
不能用α
2
线性表示(因为α
3
不能用α
1
，α
2
线性表示)，则α
2
，α
3
线性无关．而α
4
不能用α
2
，α
3
线性表示，α
2
，α
3
，α
4
线性无关．D：r(α
1
，α
2
，α
3
)=r(α
1
，α
1
+α
2
，α
2
+α
3
) =r(α
4
，α
1
+α
4
，α
2
+α
4
，α
3
+α
4
)=r(α
4
，α
1
,α
2
,α
3
)，因此α
4
能用α
1
,α
2
,α
3
线性表示．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ccbD777K
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考研数学二
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