[2006年,第7题]设函数f(x)在(-∞,+∞)上是奇函数,且在(0,+∞)内有f’(x)<0,f’’(x)>0,则在(-∞,0)内必有( )。

admin2016-04-12  30

问题 [2006年,第7题]设函数f(x)在(-∞,+∞)上是奇函数,且在(0,+∞)内有f’(x)<0,f’’(x)>0,则在(-∞,0)内必有(  )。

选项 A、f’(x)>0,f’’(x)>0
B、f’(x)<0,f’’(x)<0
C、f’(x)<0,f’’(x)>0
D、f’(x)>0,f’’(x)<0

答案B

解析 该题有两种解法,利用奇函数图形关于原点对称,偶函数图形关于y轴对称。
    方法一:当f(x)在(-∞,+∞)上一阶和二阶导数存在时,若f(x)在(-∞,+∞)上是奇函数,则f’(x)在(-∞,+∞)上是偶函数,且f’’(x)在(-∞,+∞)上是奇函数;再由在(0,+∞)内有f’(x)<0,f’’(x)>0,利用上述对称性,故在(-∞,0)内必有f’(x)<0,f’’(x)<0,应选B。
    方法二:函数f(x)在(-∞,+∞)上是奇函数,其图形关于原点对称,由于在(0,+∞)内有f’(x)<0,f’’(x)>0,f(x)单调减少,其图形为凹的;故在(-∞,0)内,f(x)应单调减少,且图形为凸的,所以有f’(x)<0,f’’(x)<0。
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