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  3. [2006年，第7题]设函数f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，且在(0，+∞)内有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，则在(-∞，0)内必有( )。

[2006年，第7题]设函数f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，且在(0，+∞)内有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，则在(-∞，0)内必有( )。

admin2016-04-12  71
问题 [2006年，第7题]设函数f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，且在(0，+∞)内有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，则在(-∞，0)内必有(  )。
选项 A、f’(x)＞0，f’’(x)＞0
B、f’(x)＜0，f’’(x)＜0
C、f’(x)＜0，f’’(x)＞0
D、f’(x)＞0，f’’(x)＜0
答案B
解析 该题有两种解法，利用奇函数图形关于原点对称，偶函数图形关于y轴对称。
    方法一：当f(x)在(-∞，+∞)上一阶和二阶导数存在时，若f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，则f’(x)在(-∞，+∞)上是偶函数，且f’’(x)在(-∞，+∞)上是奇函数；再由在(0，+∞)内有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，利用上述对称性，故在(-∞，0)内必有f’(x)<0，f’’(x)＜0，应选B。
    方法二：函数f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，其图形关于原点对称，由于在(0，+∞)内有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，f(x)单调减少，其图形为凹的；故在(-∞，0)内，f(x)应单调减少，且图形为凸的，所以有f’(x)＜0，f’’(x)＜0。
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