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  3. (99年)设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则 【 】

(99年)设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则 【 】

admin2017-05-26  50
问题 (99年)设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则    【    】
选项 A、αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．
C、αm可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．
D、αm可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．
答案B
解析 由题设条件，存在常数k1，k2，…，km使得
    k1α1＋k2α2＋…＋kmαm＝β    (*)
    且必有km≠0(否则km＝0，则由上式知β可由(Ⅰ)线性表示，这与已知条件矛盾)．于是得

    即αm可由(Ⅱ)线性表示．
    另一方面，如果αm可由(Ⅰ)线性表示：
    αm＝λ1α1＋λ2α2＋…＋λm-1αm-1
    将上式代入(*)式，则得
    β＝(k1＋βmλ1)α1＋(k2＋kmλ2)α2＋…＋(km-1＋kmλm-1)αm-1
    即β可由(Ⅰ)线性表示，这与已知条件矛盾，故αm不能由(Ⅰ)线性表示．
    综合以上两方面的结果，即知B正确．
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考研数学三

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