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  3. 设函数f(x)连续，且满足f(x)＋∫0x(x－2－t)f(t)dt＝6(x－2)ex，求f(x)。

设函数f(x)连续，且满足f(x)＋∫0x(x－2－t)f(t)dt＝6(x－2)ex，求f(x)。

admin2019-12-06  36
问题 设函数f(x)连续，且满足f(x)＋∫0x(x－2－t)f(t)dt＝6(x－2)ex，求f(x)。
选项
答案由积分方程f(x)＋∫0x(x－2－t)f(t)dt＝6(x－2)ex可知f(0)＝﹣12。 由f(x)连续知上式中变上限积分可导，而初等函数6(x－2)ex是可导的，所以f(x)也可导。在方程两边对x求导得f’(x)＋∫0xf(t)dt－2f(x)＝6(x－1)ex，且f’(0)＝﹣30。 同理可知，f(x)二次可导，上式两端对x求导得 f’’(x)－2f’’(x)＋f(x)＝6xex。 该二阶常系数线性微分方程的特征方程是λ2－2λ＋1＝0，故特征根是1(二重)，于是对应的齐次方程的通解为F(x)＝(C1＋C2x)ex。因非齐次项Q(x)＝6xex，可设非齐次方程的一个特解为[*]＝(Ax＋B)x2ex，代入f’’(x)－2f’(x)＋f(x)＝6xex可求得A＝1，B＝0，从而原方程的解为f(x)＝(C1＋C2x＋x3)ex。 利用初值条件f(0)＝﹣12，f’(0)＝﹣30可得C1＝﹣12，C2＝﹣18，故 f(x)＝(x3－18x－12)ex。
解析
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考研数学二

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