设函数f(x)连续，且满足f(x)＋∫0x(x－2－t)f(t)dt＝6(x－2)ex，求f(x)。

admin2019-12-06 40

问题设函数f(x)连续，且满足f(x)＋∫₀^x(x－2－t)f(t)dt＝6(x－2)e^x，求f(x)。

选项

答案由积分方程f(x)＋∫₀^x(x－2－t)f(t)dt＝6(x－2)e^x可知f(0)＝﹣12。由f(x)连续知上式中变上限积分可导，而初等函数6(x－2)e^x是可导的，所以f(x)也可导。在方程两边对x求导得f^’(x)＋∫₀^xf(t)dt－2f(x)＝6(x－1)e^x，且f^’(0)＝﹣30。同理可知，f(x)二次可导，上式两端对x求导得 f^’’(x)－2f^’’(x)＋f(x)＝6xe^x。该二阶常系数线性微分方程的特征方程是λ²－2λ＋1＝0，故特征根是1(二重)，于是对应的齐次方程的通解为F(x)＝(C₁＋C₂x)e^x。因非齐次项Q(x)＝6xe^x，可设非齐次方程的一个特解为[*]＝(Ax＋B)x²e^x，代入f^’’(x)－2f^’(x)＋f(x)＝6xe^x可求得A＝1，B＝0，从而原方程的解为f(x)＝(C₁＋C₂x＋x³)e^x。利用初值条件f(0)＝﹣12，f^’(0)＝﹣30可得C₁＝﹣12，C₂＝﹣18，故 f(x)＝(x³－18x－12)e^x。

解析

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考研数学二

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