2. 考研
  3. 设y=y(x)在区间(一π，π)内过点的光滑曲线．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．

设y=y(x)在区间(一π，π)内过点的光滑曲线．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．

admin2017-04-24  44
问题 设y=y(x)在区间(一π，π)内过点的光滑曲线．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．
选项
答案曲线在(x，y)处的法线方程为 Y一y=[*](X一x) 由于当一π＜x＜0时，法线过原点，所以有y=[*]由此可得，y2=一x2+C． 因为点[*]在曲线上，所以C=π2， 则所求曲线为x2+y2=π2(一π＜x＜0)． 当0≤x≤π时，由y"+y+x=0解得，y=C1cosx+C2sinx一x 由于曲线是光滑的，则 y(0—0)=y(0+0)， y一’(0)=y+’(0) 而 y(0一0)=π，y(0+0)=C1，则C1=π． y一’(0)=0，y+(0)=C2一1，则C2=1 故 [*]
解析
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考研数学二

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