设y=y(x)在区间(一π,π)内过点的光滑曲线.当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0.求函数y(x)的表达式.

admin2017-04-24  32

问题 设y=y(x)在区间(一π,π)内过点的光滑曲线.当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0.求函数y(x)的表达式.

选项

答案曲线在(x,y)处的法线方程为 Y一y=[*](X一x) 由于当一π<x<0时,法线过原点,所以有y=[*]由此可得,y2=一x2+C. 因为点[*]在曲线上,所以C=π2, 则所求曲线为x2+y22(一π<x<0). 当0≤x≤π时,由y"+y+x=0解得,y=C1cosx+C2sinx一x 由于曲线是光滑的,则 y(0—0)=y(0+0), y(0)=y+(0) 而 y(0一0)=π,y(0+0)=C1,则C1=π. y(0)=0,y+(0)=C2一1,则C2=1 故 [*]

解析
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