设y=y(x)在区间(一π，π)内过点的光滑曲线．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．

admin2017-04-24 28

问题设y=y(x)在区间(一π，π)内过点

的光滑曲线．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．

选项

答案曲线在(x，y)处的法线方程为 Y一y=[*](X一x) 由于当一π＜x＜0时，法线过原点，所以有y=[*]由此可得，y²=一x²+C．因为点[*]在曲线上，所以C=π²，则所求曲线为x²+y²=π²(一π＜x＜0)．当0≤x≤π时，由y"+y+x=0解得，y=C₁cosx+C₂sinx一x 由于曲线是光滑的，则 y(0—0)=y(0+0)， y_一^’(0)=y₊^’(0) 而 y(0一0)=π，y(0+0)=C₁，则C₁=π． y_一^’(0)=0，y+(0)=C₂一1，则C₂=1 故 [*]

解析

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考研数学二

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设y=y(x)在区间(一π，π)内过点的光滑曲线．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．

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