已知z1＝(2b－c)cosA＋4i，z2＝acosC＋(b＋c)i，且z1＝z2，其中A、C为△ABC的内角，a、b、c分别为A、B、C三个角所对的边． (1)求A的大小； (2)若a＝2，求△ABC的面积．

admin2015-12-09 20

问题已知z₁＝(2b－c)cosA＋4i，z₂＝acosC＋(b＋c)i，且z₁＝z₂，其中A、C为△ABC的内角，a、b、c分别为A、B、C三个角所对的边．
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC的面积．

选项

答案(1)z₁＝z₂，则有[*] 又在△ABC中，[*](正弦定理)，代入2bcosA＝acosC＋ccosA中，得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，所以2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB，又因为在△ABC中，sinB≠0，所以cosA＝[*]，又由于A∈(0，π)，所以A＝[*]． (2)在AABC中，a²＝b²＋c²－2bccosA，因为a＝2，cosA＝[*]，则b²＋c²－bc＝4，又因为b＋c＝4，故bc＝4，所以S_△ABC＝[*]

解析

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已知z1＝(2b－c)cosA＋4i，z2＝acosC＋(b＋c)i，且z1＝z2，其中A、C为△ABC的内角，a、b、c分别为A、B、C三个角所对的边． (1)求A的大小； (2)若a＝2，求△ABC的面积．

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