设A= (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

admin2016-10-20 65

问题设A=

(Ⅰ)求满足Aξ₂=ξ₁，A²ξ₃=ξ₁的所有向量ξ₂，ξ₃；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ₂，ξ₃，证明ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．

选项

答案(Ⅰ)对增广矩阵(A ：ξ₁)作初等行变换，有 [*] 得Ax=0的基础解系(1，-1，2)^T和Ax=ξ₁的特解(0，0，1)^T．故ξ₂=(0，0，1)^T+k(1，-1，2)^T或ξ₂=(k，一k，2k+1)^T，其中k为任意常数．因为A²=[*]，对增广矩阵(A²：ξ₁)作初等行变换，有 [*] 得A²x=0的基础解系(-1，1，0)^T，(0，0，1)^T．又A²x=ξ₁有特解 [*] 其中t₁，t₂为任意常数． (Ⅱ)因为 [*] 所以ξ₁，ξ₂，ξ₃必线性无关．

解析其实求ξ₂和ξ₃就是分别求方程组Ax=ξ₁与方程组A²x=ξ₁的通解．

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考研数学三

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