设f(x)在[1，+∞)上连续，若曲线y＝f(x)，直线x＝1，x＝t(t>1)与x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V(t)＝［t2f(t)－f(1)]，且f(2)＝，求函数y＝f(x)的表达式

admin2016-05-17 67

问题设f(x)在[1，+∞)上连续，若曲线y＝f(x)，直线x＝1，x＝t(t>1)与x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为
V(t)＝

［t²f(t)－f(1)]，
且f(2)＝

，求函数y＝f(x)的表达式

选项

答案由旋转体的体积公式得 V(t)=π[*]f²(u)du, 由已知条件得π[*]f²(u)du=[*]［t²f(t)－f(1),即3[*]f²(u)du=t²f(t)－f(1). 等式两边对t求导得 3f²(t)=2tf(t)+t²fˊ(t)，于是有x²yˊ=3y²－2xy，变形得[*]=3[*]—2[*].

解析

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