2. 公务员
  3. 设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=，证明数列{an}是等差数列．

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=，证明数列{an}是等差数列．

admin2019-08-06  59
问题 设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=，证明数列{an}是等差数列．
选项
答案设a2一a1=d，猜测an=a1+(n一1)d． 当n=1时，a1=a1，∴当n=1时猜测正确． 当n=2时，a1+(2—1)d=a1+d=a2，∴当n=2时猜测正确． 假设当n=k(k≥2)时，猜测正确，即：ak=a1+(k一1)d， 当n=k+1时，ak+1=Sk+1一Sk=[*], 将ak=a1+(k一1)d代入，得到2ak+1=(k+1)(a1+ak+1)－2ka1－k(k—1)d， 整理得(k一1)ak+1=(k一1)a1+k(k一1)d， 又因为k≥2，所以ak+1=a1+kd，即n=k+1时猜测正确． 综上所述，对所有的自然数n，都有an=a1+(n－1)d，从而数列{an}是等差数列．
解析
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