设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=，证明数列{an}是等差数列．

admin2019-08-06 47

问题设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于所有的自然数n，都有S_n=

，证明数列{a_n}是等差数列．

选项

答案设a₂一a₁=d，猜测a_n=a₁+(n一1)d．当n=1时，a₁=a₁，∴当n=1时猜测正确．当n=2时，a₁+(2—1)d=a₁+d=a₂，∴当n=2时猜测正确．假设当n=k(k≥2)时，猜测正确，即：a_k=a₁+(k一1)d，当n=k+1时，a_k+1=S_k+1一S_k=[*], 将a_k=a₁+(k一1)d代入，得到2a_k+1=(k+1)(a₁+a_k+1)－2ka₁－k(k—1)d，整理得(k一1)a_k+1=(k一1)a₁+k(k一1)d，又因为k≥2，所以a_k+1=a₁+kd，即n=k+1时猜测正确．综上所述，对所有的自然数n，都有a_n=a₁+(n－1)d，从而数列{a_n}是等差数列．

解析

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