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设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=，证明数列{an}是等差数列．
设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=，证明数列{an}是等差数列．
admin
2019-08-06
63
问题
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若对于所有的自然数n，都有S
n
=
，证明数列{a
n
}是等差数列．
选项
答案
设a
2
一a
1
=d，猜测a
n
=a
1
+(n一1)d． 当n=1时，a
1
=a
1
，∴当n=1时猜测正确． 当n=2时，a
1
+(2—1)d=a
1
+d=a
2
，∴当n=2时猜测正确． 假设当n=k(k≥2)时，猜测正确，即：a
k
=a
1
+(k一1)d， 当n=k+1时，a
k+1
=S
k+1
一S
k
=[*], 将a
k
=a
1
+(k一1)d代入，得到2a
k+1
=(k+1)(a
1
+a
k+1
)－2ka
1
－k(k—1)d， 整理得(k一1)a
k+1
=(k一1)a
1
+k(k一1)d， 又因为k≥2，所以a
k+1
=a
1
+kd，即n=k+1时猜测正确． 综上所述，对所有的自然数n，都有a
n
=a
1
+(n－1)d，从而数列{a
n
}是等差数列．
解析
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