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已知向量组 具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,求a、b的值.
已知向量组 具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,求a、b的值.
admin
2021-01-19
55
问题
已知向量组
具有相同的秩,且β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,求a、b的值.
选项
答案
α
1
和α
2
线性无关,α
3
=3α
1
+2α
2
,所以向量组α
1
,α
2
,α
3
线性相关,且其秩为2,α
1
,α
2
是它的一个极大线性无关组. 由于向量组β
1
,β
2
,β
3
与α
1
,α
2
,α
3
具有相同的秩,故β
1
,β
2
,β
3
线性相关,从而,行列式 |β
1
,β
2
,β
3
|=[*] 由此解得a=3b. 又β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,从而可由α
1
,α
2
线性表示,所以α
1
,α
2
,α
3
线性相关,于是,行列式 |α
1
α
2
β
3
|=[*] 解之得b=5,所以a=15,b=5. 因β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,故线性方程组 [*] 有解,对其增广矩阵施行初等行变换: [*] 由非齐次线性方程组有解的充要条件知[*]=0,于是得b=5. 又α
1
,α
2
线性无关,α
3
=3α
1
+2α
2
,所以向量组α
1
,α
2
,α
3
的秩为2.由题设知向量组β
1
,β
2
,β
3
的秩也为2,从而[*]=0,解之得a=15.
解析
本题综合考查向量组的秩、向量组的秩与向量组线性相关性的关系、线性表示以及非齐次线性方程组有解的条件等概念.注意,在解答中,几次用到了“n个n维(列)向量α
1
,…,α
n
线性相关
行列式|α
1
…α
n
|=0”的结论.本题求向量组α
1
,α
2
,α
3
的秩也可以利用矩阵[α
1
,α
2
,α
3
]的初等变换法来求.
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