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  3. 已知向量组 具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a、b的值．

已知向量组 具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a、b的值．

admin2021-01-19  56
问题 已知向量组

具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a、b的值．
选项
答案α1和α2线性无关，α3=3α1+2α2，所以向量组α1，α2，α3线性相关，且其秩为2，α1，α2是它的一个极大线性无关组． 由于向量组β1，β2，β3与α1，α2，α3具有相同的秩，故β1，β2，β3线性相关，从而，行列式 |β1，β2，β3|=[*] 由此解得a=3b． 又β3可由α1，α2，α3线性表示，从而可由α1，α2线性表示，所以α1，α2，α3线性相关，于是，行列式 |α1 α2 β3|=[*] 解之得b=5，所以a=15，b=5． 因β3可由α1，α2，α3线性表示，故线性方程组 [*] 有解，对其增广矩阵施行初等行变换： [*] 由非齐次线性方程组有解的充要条件知[*]=0，于是得b=5． 又α1，α2线性无关，α3=3α1 +2α2，所以向量组α1，α2，α3的秩为2．由题设知向量组β1，β2，β3的秩也为2，从而[*]=0，解之得a=15．
解析 本题综合考查向量组的秩、向量组的秩与向量组线性相关性的关系、线性表示以及非齐次线性方程组有解的条件等概念．注意，在解答中，几次用到了“n个n维(列)向量α1，…，αn线性相关行列式|α1…αn|=0”的结论．本题求向量组α1，α2，α3的秩也可以利用矩阵[α1，α2，α3]的初等变换法来求．
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考研数学二

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