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已知向量组 具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a、b的值．
已知向量组 具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a、b的值．
admin
2021-01-19
42
问题
已知向量组
具有相同的秩，且β
3
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，求a、b的值．
选项
答案
α
1
和α
2
线性无关，α
3
=3α
1
+2α
2
，所以向量组α
1
，α
2
，α
3
线性相关，且其秩为2，α
1
，α
2
是它的一个极大线性无关组． 由于向量组β
1
，β
2
，β
3
与α
1
，α
2
，α
3
具有相同的秩，故β
1
，β
2
，β
3
线性相关，从而，行列式 |β
1
，β
2
，β
3
|=[*] 由此解得a=3b． 又β
3
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，从而可由α
1
，α
2
线性表示，所以α
1
，α
2
，α
3
线性相关，于是，行列式 |α
1
α
2
β
3
|=[*] 解之得b=5，所以a=15，b=5． 因β
3
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，故线性方程组 [*] 有解，对其增广矩阵施行初等行变换： [*] 由非齐次线性方程组有解的充要条件知[*]=0，于是得b=5． 又α
1
，α
2
线性无关，α
3
=3α
1
+2α
2
，所以向量组α
1
，α
2
，α
3
的秩为2．由题设知向量组β
1
，β
2
，β
3
的秩也为2，从而[*]=0，解之得a=15．
解析
本题综合考查向量组的秩、向量组的秩与向量组线性相关性的关系、线性表示以及非齐次线性方程组有解的条件等概念．注意，在解答中，几次用到了“n个n维(列)向量α
1
，…，α
n
线性相关
行列式|α
1
…α
n
|=0”的结论．本题求向量组α
1
，α
2
，α
3
的秩也可以利用矩阵[α
1
，α
2
，α
3
]的初等变换法来求．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/T584777K
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考研数学二
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