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设函数f(x)在[0,π]上连续,且试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
设函数f(x)在[0,π]上连续,且试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2016-03-26
65
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且
试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
[*]知.存在ξ
1
∈(0,π),使f(ξ
1
)=0.因若不然,则在(0,π)内或f(x)恒为正,或f(x)恒为负,均与[*]矛盾.若在(0,π)内f(x)=0仅有一个实根x=ξ
1
,则由[*]推知f(x)在(0,ξ
1
)内与(ξ
1
,π)内异号,不妨设在(0,ξ
1
)内f(x)>0,在(ξ
1
,π)内f(x)<0,于是再由[*]及cosx在[0,π]上的单调性知:[*]得出矛盾.从而推知,在(0,π)内除ξ
1
外.f(x)=0至少还有另一实根ξ
2
,故知存在ξ
1
,ξ
2
∈(0,π),ξ
1
≠ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)
解析
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0
考研数学三
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