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设f(μ,ν)具有连续偏导数,且满足fμ’(μ,ν)+fν’(μ,ν)=μν。求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
设f(μ,ν)具有连续偏导数,且满足fμ’(μ,ν)+fν’(μ,ν)=μν。求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
admin
2018-01-30
93
问题
设f(μ,ν)具有连续偏导数,且满足f
μ
’
(μ,ν)+f
ν
’
(μ,ν)=μν。求y(x)=e
-2x
f(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
选项
答案
由y(x)=e
-2x
f(x,x),两边对x求导有, y
’
=一2e
-2x
f(x,x)+e
-2x
f
1
’
(x,x)+e
-2x
f
2
’
(x,x) =一2e
-2x
f(x,x)+e
-2x
[f
1
’
(x,x)+f
2
’
(x,x)] =一2y+e
-2x
[f
1
’
(x,x)+f
2
’
(x,x)]。 已知f
μ
’
(μ,ν)+f
ν
’
(μ,ν)=μν,即f
1
’
(μ,ν)+f
2
’
(μ,ν)=μν,则f
1
’
(x,x)+f
2
’
(x,x)=x
2
。 因此,y(x)满足一阶微分方程y
’
+2y=x
2
e
-2x
。由一阶线性微分方程的通解公式得 y=e
-∫2dx
(∫x
2
e
-2x
e
∫2dx
dx+C)=e
-2x
(∫x
2
dx+C)=e
-2x
([*]+C)(C为任意常数)。
解析
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考研数学二
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