设B=U一1A*U.求B+2E的特征值和特征向量.

admin2017-10-21  30

问题B=U一1A*U.求B+2E的特征值和特征向量.

选项

答案本题可先求出B+2E(先求A*,再求B,再求B+2E),然后求它的特征值与特征向量,这样做计算量大.一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算. ①求特征值. A=C+E,其中 [*] 则c的特征值为0,0,6,从而A的特征值为1,1,7.|A|=1×|×7=7. 根据定理5.5的②,A*的特征值为7,7,1. B~A*,从而B和A*特征值完全一样,也是7,7,1. 用定理5.5的①,B+2E的特征值为9,9,3. ②求特征向量. A*与A的对应特征值(指1与7,7与1)的特征向量一样,B+2E与B对应特征值(指7与9,1与3)的特征向量也一样,根据定理5.8的④,A*η=λη[*]298λU一1η=λU一1η.于是可以由A的特征向量来得到B+2E的特征向量 A的属于1的特征向量就是A*的属于7的特征向量,用U-1左乘后就是B的属于7的特征向量,也就是B+2E的属于9的特征向量. A的属于1的特征向量,即(A—E)X=0的非零解.求得(A—E)X=0的基础解系 η1=(1,一1,0)T,η2=(1,0,一1)T. 于是A的属于1的特征向量的为 c2η1+c2η2,c2,c2不全为0. 求出ξ=U一1η1=(一1,1,0)T,ξ2=U一1η2=(1,1,一1)T,则B+2E的属于9的特征向量为 c1ξ1+c2ξ2,c2,c2不全为0. 同理,A的属于7的特征向量用U一1左乘后就是B+2E的属于3的特征向量. 求出A的属于7的特征向量(即(A一7E)X=0的非零解)为 cη,c不为0,其中η=(1,1,1)T,记ξ=U一1η=(0,1,1)T,则B+2E的属于9的特征向量为 cξ,c≠0.

解析
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