设B=U一1A*U．求B+2E的特征值和特征向量．

admin2017-10-21 46

问题设

B=U^一1A^*U．求B+2E的特征值和特征向量．

选项

答案本题可先求出B+2E(先求A^*，再求B，再求B+2E)，然后求它的特征值与特征向量，这样做计算量大．一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算． ①求特征值． A=C+E，其中 [*] 则c的特征值为0，0，6，从而A的特征值为1，1，7．｜A｜=1×｜×7=7．根据定理5．5的②，A^*的特征值为7，7，1． B～A^*，从而B和A^*特征值完全一样，也是7，7，1．用定理5．5的①，B+2E的特征值为9，9，3． ②求特征向量． A^*与A的对应特征值(指1与7，7与1)的特征向量一样，B+2E与B对应特征值(指7与9，1与3)的特征向量也一样，根据定理5．8的④，A^*η=λη[*]298λU^一1η=λU^一1η．于是可以由A的特征向量来得到B+2E的特征向量 A的属于1的特征向量就是A^*的属于7的特征向量，用U^-1左乘后就是B的属于7的特征向量，也就是B+2E的属于9的特征向量． A的属于1的特征向量，即(A—E)X=0的非零解．求得(A—E)X=0的基础解系 η₁=(1，一1，0)^T，η₂=(1，0，一1)^T．于是A的属于1的特征向量的为 c₂η₁+c₂η₂，c₂，c₂不全为0．求出ξ=U^一1η₁=(一1，1，0)^T，ξ₂=U^一1η₂=(1，1，一1)^T，则B+2E的属于9的特征向量为 c₁ξ₁+c₂ξ₂，c₂，c₂不全为0．同理，A的属于7的特征向量用U^一1左乘后就是B+2E的属于3的特征向量．求出A的属于7的特征向量(即(A一7E)X=0的非零解)为 cη，c不为0，其中η=(1，1，1)^T，记ξ=U^一1η=(0，1，1)^T，则B+2E的属于9的特征向量为 cξ，c≠0．

解析

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