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[2010年] 求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值．

admin2019-04-05  56
问题 [2010年]  求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值．
选项
答案先构造拉格朗日函数，令其导数等于零得一方程组，解此方程组可求得可 能最值点． 用拉格朗日乘数法求之．令F(x，y，z)=xy+2yz+λ(x2+y2+z2一10)，则 [*] 由式①、式②分别得 λ=一y／(2x)， ⑤ 又λ=一y／z，故 [*]， 即 z=2x． ⑥ 将式⑥代入式②得到 5x+2λy=0， 即 λ=一5x／(2y) (y≠0)． ⑦ 由式⑤、式⑦得到 λ=一5x／(2y)=一y／(2x)， 即 5x2=y2． ⑧ 将式⑥、式⑧代入式④，得到10x2=10， 即 x=±1． 当x=1时，z=2，y=±√5；当x=一l时，z=－2，y=±√5． 令y=0，由式②、式④得到x=一2z，4z2+z2=5z2=10，即z=±√2．因此， 点(－2√2，0，√2)、(2√2，0，一√2)也是可能极值点． 综上所述，可能的极值点有 A(1，√5，2)，B(一l，√5，一2)，C(1，一√5，2)， D(一1，一√5，一2)，E(2√2，0，一√2)，F(一2√2，0，√2)． 比较u在各点处的值，有 u(1，√5，2)=u(一l，一√5，－2)=5√5为最大值， u(1，一√5，2)=u(一1，√5，一2)=一5√5为最小值， 故所求函数u的最大值和最小值分别为5√5，一5√5．
解析
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考研数学二

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