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[2010年] 求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值.
[2010年] 求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值.
admin
2019-04-05
71
问题
[2010年] 求函数u=xy+2yz在约束条件x
2
+y
2
+z
2
=10下的最大值和最小值.
选项
答案
先构造拉格朗日函数,令其导数等于零得一方程组,解此方程组可求得可 能最值点. 用拉格朗日乘数法求之.令F(x,y,z)=xy+2yz+λ(x
2
+y
2
+z
2
一10),则 [*] 由式①、式②分别得 λ=一y/(2x), ⑤ 又λ=一y/z,故 [*], 即 z=2x. ⑥ 将式⑥代入式②得到 5x+2λy=0, 即 λ=一5x/(2y) (y≠0). ⑦ 由式⑤、式⑦得到 λ=一5x/(2y)=一y/(2x), 即 5x
2
=y
2
. ⑧ 将式⑥、式⑧代入式④,得到10x
2
=10, 即 x=±1. 当x=1时,z=2,y=±√5;当x=一l时,z=-2,y=±√5. 令y=0,由式②、式④得到x=一2z,4z
2
+z
2
=5z
2
=10,即z=±√2.因此, 点(-2√2,0,√2)、(2√2,0,一√2)也是可能极值点. 综上所述,可能的极值点有 A(1,√5,2),B(一l,√5,一2),C(1,一√5,2), D(一1,一√5,一2),E(2√2,0,一√2),F(一2√2,0,√2). 比较u在各点处的值,有 u(1,√5,2)=u(一l,一√5,-2)=5√5为最大值, u(1,一√5,2)=u(一1,√5,一2)=一5√5为最小值, 故所求函数u的最大值和最小值分别为5√5,一5√5.
解析
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