2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)，证明： 其中E是r阶单位阵．

设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)，证明： 其中E是r阶单位阵．

admin2019-04-22  77
问题 设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)，证明：
   
其中E是r阶单位阵．
选项
答案A2=A，A的特征值的取值为1，0，由A一A2=A(E一A)=O知 r(A)+r(E—A)≤n， r(A)+r(E—A)≥r(A+E一A)=r(E)=n， 故r(A)+r(E一A)=n，r(A)=r，从而r(E一A)=n一r． 对λ=1，(E—A)X=0，因r(E一A)=n—r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ1，ξ2，…，ξs； 对λ=0，(0E一A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n一r个线性无关特征向量，设为ξr+1，ξr+2，…，ξn． 故存在可逆阵 P=[ξ1，ξ2，…，ξn]， 使得 P一1AP=[*]
解析
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考研数学二

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