过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D。 (Ⅰ)求D的面积A； (Ⅱ)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V。

admin2017-01-14 30

问题过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D。
(Ⅰ)求D的面积A；
(Ⅱ)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V。

选项

答案(Ⅰ)设切点的横坐标为x₀，则曲线y=lnx在点(x₀，lnx₀)处的切线方程是 [*] 由该切线过原点知lnx₀-1=0，从而x₀=e，所以该切线的方程为 [*] 因此，平面图形D的面积 [*] (Ⅱ)切线[*]与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体体积为 [*] 曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 [*] 因此所求旋转体的体积为 [*]

解析

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考研数学一

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