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  3. 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 , 记α=，β= 若α,β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12 +y22

设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 , 记α=，β= 若α,β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12 +y22

admin2013-05-13  25
问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 ,
记α=，β=
若α,β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12 +y22
选项
答案记A=2ααT +ββT ,由于α,β正交，则有αTβ=βTα=0，又α,β为单位向量，则‖α‖=1，于是αTα=1，同理βTβ=1。 因为r(A)=r(2ααT +ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2＜3，所以，｜A｜=0，故0是A的特征值。 因为Aα=(2ααT +ββT)α=2α，所以2是A的特征值。 因为Aβ=(2ααT +ββT)β=β,所以1是A的特征值。 于是A的特征值为2,1,0。 因此f在正交变换下可化为标准行2y12+y22
解析
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考研数学一

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