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设f(χ)在[-a,a]上连续,在(-a,a)内可导,且f(-a)=f(a)(a>0),证明:存在ξ∈(-a,a),使得f′(ξ)=2ξf(ξ).
设f(χ)在[-a,a]上连续,在(-a,a)内可导,且f(-a)=f(a)(a>0),证明:存在ξ∈(-a,a),使得f′(ξ)=2ξf(ξ).
admin
2017-09-15
59
问题
设f(χ)在[-a,a]上连续,在(-a,a)内可导,且f(-a)=f(a)(a>0),证明:存在ξ∈(-a,a),使得f′(ξ)=2ξf(ξ).
选项
答案
令φ(χ)=[*]f(χ), 由f(-a)=f(χ)得φ(-a)=φ(a), 由罗尔定理,存在ξ∈(-a,a),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(χ)=[*][f′(χ)-2χf(χ)]且[*]≠0,故f′(ξ)=2ξf(ξ).
解析
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