2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式 证明当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1恒成立。

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式 证明当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1恒成立。

admin2019-01-26  6
问题 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式
         
证明当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1恒成立。
选项
答案方法一：由上题中结果知，当x≥0时，f’(x)＜0，f’(x)在[0，+∞)上单调递减，又因为f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。 设φ(x)=f(x)－e－x，则φ(0)=0， [*] 当x≥0时，φ’(x)≥0，即φ(x)在[0，+∞)上单调递增。因而φ(x)≥φ(0)=0，即f(x)≥e－x。 综上所述，当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1恒成立。 方法二：因为 [*] 将f’(x)代入得 [*] 当x≥0时， [*] 所以e－x≤f(x)≤1。
解析
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考研数学二

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