设矩阵，已知线性方程组AX=β有解但不惟一，试求 (1)a的值； (2)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵。

admin2015-09-14 57

问题设矩阵

，已知线性方程组AX=β有解但不惟一，试求
(1)a的值；
(2)正交矩阵Q，使Q^TAQ为对角矩阵。

选项

答案[*] 故α=一2满足题设条件。或因线性方程组AX=β有解但不惟一，所以 [*] 当a=1时，秩(A)≠秩[A|B]，此时方程组无解；但a=一2时，秩(A)=秩[A|B]，此时方程组的解存在但不惟一，于是知a=一2． (2)由(1)知 [*] 得A的特征值为λ₁=0，λ₂=3，λ₃=一3．对于λ₁=0，解方程组(OE—A)X=0，由 [*]

解析

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