设A为n阶实对称矩阵，且A3一3A2+5A-3E=0．证明：A正定．

admin2016-07-11 39

问题设A为n阶实对称矩阵，且A³一3A²+5A-3E=0．证明：A正定．

选项

答案证明：设λ是A的任一特征值，对应特征向量为x≠0，即Ax=λx，则有 (A³—3A²+5A一3E)x=(λ³—3λ²+5λ一3)x=0，也即λ满足 λ³-3λ²+5λ一3=(λ一1)(λ²一2λ+3)=0，解得λ=1或[*] 因为A为实对称矩阵，其特征值为实数，故只有λ=1，即A的全部特征值就是λ=1＞0，所以A为正定矩阵．

解析

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