设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’(x)≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的解。

admin2019-01-15 73

问题设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y^’(x)≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。
(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程

变换为y=y(x)满足的微分方程；
(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，

的解。

选项

答案(Ⅰ)由反函数求导法则，[*]，则 [*] 将以上两式代入所给微分方程得y^’’-y=sinx。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果，则对应齐次方程的特征方程为λ²-1=0，特征根为λ=±1。由于i不是特征方程的根，故设非齐次待定特解为y^*=Acosx+Bsinx，并将y^*，(y^*)^’及(y^*)^’’代入y^’’-y=sinx，得A=0，[*]。则非齐次方程通解为[*]。又由y(0)=0，[*]可得，C₁，C₂=-1。故所求特解为[*]

解析

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考研数学三

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设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’(x)≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的解。

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