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设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’(x)≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程; (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,的解。
设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’(x)≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程; (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,的解。
admin
2019-01-15
111
问题
设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y
’
(x)≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。
(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(x)满足的微分方程;
(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,
的解。
选项
答案
(Ⅰ)由反函数求导法则,[*],则 [*] 将以上两式代入所给微分方程得y
’’
-y=sinx。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果,则对应齐次方程的特征方程为λ
2
-1=0,特征根为λ=±1。 由于i不是特征方程的根,故设非齐次待定特解为y
*
=Acosx+Bsinx,并将y
*
,(y
*
)
’
及(y
*
)
’’
代入y
’’
-y=sinx,得A=0,[*]。 则非齐次方程通解为[*]。 又由y(0)=0,[*]可得,C
1
,C
2
=-1。 故所求特解为[*]
解析
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考研数学三
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