计算下列定积分： (3)∫01x|a一x|dx； (4)∫050f(x)dx,其中f(x)是x到离x最近的整数的距离．

admin2015-09-06 69

问题计算下列定积分：

(3)∫₀¹x|a一x|dx；
(4)∫₀⁵⁰f(x)dx,其中f(x)是x到离x最近的整数的距离．

选项

答案(1)[*] =∫₀²|1一x|dx(开方取绝对值) =∫₀¹(1-x)dx+∫₁²(x-1)dx=1 [*] 这是因为第一个积分为偶函数在对称区间上积分，第二个为奇函数在对称区间上积分为零，第三个积分利用定积分的几何意义，[*]是圆心在原点，半径为2的上半圆，它在[-2，2]上积分应是上半圆面积[*]，故第一个积分为 [*] (3)当a＜0时， ∫₀¹x|a-x|dx=∫₀¹x(x—a)dx=[*] 当a＞1时， ∫₀¹x|a一x|dx=一∫₀¹x(x—a)dx=[*] 当0≤a≤1时， ∫₀¹x|a一x|dx=∫₀^ax(a一x)dx+∫_a¹x(x一a)dx=[*] 所以 [*] (4)由题意知， [*] 可得 [*]

解析

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