下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容，据此回答下列问题。等比数列的前n项和国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个

admin2019-06-10 23

问题下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容，据此回答下列问题。
等比数列的前n项和
国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了，假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量约6亿t，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言。

让我们一起来分析一下，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和。
一般地，对于等比数列
a₁，a₂，a₃…，a_n，…，
它的前n项和是
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
根据等比数列的通项公式，上式可写成
S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n－1。 ①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得
qS_n=a₁q+a₁q²+…+a₁q^n－1+a₁qⁿ， ②
①②的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得
(1－q)S_n=a₁－a₁qⁿ。
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
S_n=

(q≠1)
因为a_n=a₁q^n－1，所以上面的公式还可以写成
S_n=

(q≠1)

有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题，由a₁=1，q=2，n=64，可得
S₆₄=

=2⁶⁴－1
2⁶⁴－1这个数很大，超过了1．84×10¹⁹，估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言。

问题：
写出这节课的教学重难点。

选项

答案教学重点：掌握等比数列前n项和公式及利用公式解决问题；教学难点：数列前n项和公式的推导。

解析

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