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在曲面x2+y2+z2-2x+2y-4z-3=0上,过点(3,-2,4)的切平面方程是( )。
在曲面x2+y2+z2-2x+2y-4z-3=0上,过点(3,-2,4)的切平面方程是( )。
admin
2015-06-14
37
问题
在曲面x
2
+y
2
+z
2
-2x+2y-4z-3=0上,过点(3,-2,4)的切平面方程是( )。
选项
A、2x-y+2z=0
B、2x-y+2z=16
C、4x-3y+6z=42
D、4x-3y+6z=0
答案
B
解析
方法一,设球面方程为x
2
+y
2
+z
2
+2px+2qy+2rz+d=0,则过球面上点(x
0
,y
0
,z
0
)的切平面方程为:
x
0
x+y
0
y+z
0
z+p(x+x
0
)+q(y+y
0
)+r(z+z
0
)+d=0。
由x
2
+y
2
+z
2
-2x+2y-4z-3=0可知,此曲面为球面,且:p=-1,q=1,r=-2,d=-3,又点(3,-2,4)在球面上,则切平面方程为:2x-y+2z=16,故选B。
方法二:曲面x
2
+y
2
+z
2
-2x+2y-4z-3=0为球面,标准方程为:
(x-1)
2
+(y+1)
2
+(z-2)
2
=9
球心为(1,-1,2),半径为3。在A、B、C、D四个选项中,只有B、C过点(3,-2,4)。故A、D排除。同时球心到切平面的距离应该等于球的半径,选项B,球心到平面的距离为
等于球半径,满足题意。故选B。
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