在曲面x2+y2+z2-2x+2y-4z-3=0上,过点(3,-2,4)的切平面方程是( )。

admin2015-06-14  34

问题 在曲面x2+y2+z2-2x+2y-4z-3=0上,过点(3,-2,4)的切平面方程是(  )。

选项 A、2x-y+2z=0
B、2x-y+2z=16
C、4x-3y+6z=42
D、4x-3y+6z=0

答案B

解析 方法一,设球面方程为x2+y2+z2+2px+2qy+2rz+d=0,则过球面上点(x0,y0,z0)的切平面方程为:
    x0x+y0y+z0z+p(x+x0)+q(y+y0)+r(z+z0)+d=0。
    由x2+y2+z2-2x+2y-4z-3=0可知,此曲面为球面,且:p=-1,q=1,r=-2,d=-3,又点(3,-2,4)在球面上,则切平面方程为:2x-y+2z=16,故选B。
    方法二:曲面x2+y2+z2-2x+2y-4z-3=0为球面,标准方程为:
    (x-1)2+(y+1)2+(z-2)2=9
    球心为(1,-1,2),半径为3。在A、B、C、D四个选项中,只有B、C过点(3,-2,4)。故A、D排除。同时球心到切平面的距离应该等于球的半径,选项B,球心到平面的距离为等于球半径,满足题意。故选B。
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