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  3. 设A是n阶反对称矩阵，证明(E—A)(E+A)-1是正交矩阵。

设A是n阶反对称矩阵，证明(E—A)(E+A)-1是正交矩阵。

admin2022-06-08  15
问题 设A是n阶反对称矩阵，证明(E—A)(E+A)-1是正交矩阵。
选项
答案[(E—A)(E+A)-1][(E—A)(E+A)-1]T =(E—A)(E+A)一1[(E+A)-1]T(E—A)T =(E—A)(E+A)-1[(E+A)T]-1(E—A)T =(E—A)(E+A)一1(E+AT)一1(E—AT) =(E—A)(E+A)一1(E一A)一1(E+A) =(E—A)[(E—A)(E+A)]-1(E+A) 由于(E—A)(E+A)=E—A2=(E+A)(E—A) 所以上式可变化为： (E—A)[(E—A)(E+A)]-11(E+A)=(E—A)[(E+A)(E—A)]-1(E+A) =(E—A)(E一A)一1(E+A)一1(E+A)=E 同理可证[(E—A)(E+A)-1]T[(E—A)(E+A)-1]=E 所以(E—A)(E+A)-1是正交矩阵。
解析
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