已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个解，若u(一1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

admin2017-07-26 108

问题已知y₁(x)=ex，y₂(x)=u(x)e^x是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个解，若u(一1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

选项

答案计算得 y’₂(x)=[u’(x)+u(x)]e^x，y"₂(x)=[u"(x)+2u’(x)+u(x)]e^x，将y₂(x)=u(x)e^x代入方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0有 (2x—1)u"(x)+(2x—3)u’(x)=0，[*]．两边积分得：lnu’(x)=一x+ln(2x一1)+lnC₁，即u’(x)=C₁(2x一1)e^—x．故u(x)=一C₁(2x+1)e^—x+C₂ 由条件u(一1)=e，u(0)=一1，得C₁=1，C₂=0，即u(x)=一(2x+1)e^x． y₁(x)，y₂(x)是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个线性无关的解，所以通解为y(x)=C₁e^x+C₂(2x+1)．

解析根据已知的关系式，变形得到关于u(x)的微分方程，解微分方程求得u(x)．

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考研数学三

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已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个解，若u(一1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

考研数学三

一曲线通过点(2，3)，它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线的方程．

函数f(μ，ν)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则=_____________.

设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，6)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，∫ab)dx=0．证明：(Ⅰ)存在ξi∈(a，b)，使得f(ξi)=f’’(ξi)(i=1，2)；(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=f’’(η)．

微分方程y’’+y=-2x的通解为________．

设u=二阶连续可导，又，求f(x)．

设函数y(x)在(一∞，+∞)内有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(I)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程；(II)求解变换后的微分方程的通解．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得nf’(η)+f(η)=0．

求∫x2arctanxdx．

设0＜k＜1，f(x)=kx—arctanx．证明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零点，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x1)=0．

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胃肠钡餐造影时，腔外龛影与憩室的共同之处不包括

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