已知y1(x)=ex,y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个解,若u(一1)=e,u(0)=一1,求u(x),并写出该微分方程的通解.

admin2017-07-26  59

问题 已知y1(x)=ex,y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个解,若u(一1)=e,u(0)=一1,求u(x),并写出该微分方程的通解.

选项

答案计算得 y’2(x)=[u’(x)+u(x)]ex,y"2(x)=[u"(x)+2u’(x)+u(x)]ex, 将y2(x)=u(x)ex代入方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0有 (2x—1)u"(x)+(2x—3)u’(x)=0,[*]. 两边积分得:lnu’(x)=一x+ln(2x一1)+lnC1,即u’(x)=C1(2x一1)e—x. 故u(x)=一C1(2x+1)e—x+C2 由条件u(一1)=e,u(0)=一1,得C1=1,C2=0,即u(x)=一(2x+1)ex. y1(x),y2(x)是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个线性无关的解,所以通解为y(x)=C1ex+C2(2x+1).

解析 根据已知的关系式,变形得到关于u(x)的微分方程,解微分方程求得u(x).
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