已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个解，若u(一1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

admin2017-07-26 80

问题已知y₁(x)=ex，y₂(x)=u(x)e^x是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个解，若u(一1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

选项

答案计算得 y’₂(x)=[u’(x)+u(x)]e^x，y"₂(x)=[u"(x)+2u’(x)+u(x)]e^x，将y₂(x)=u(x)e^x代入方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0有 (2x—1)u"(x)+(2x—3)u’(x)=0，[*]．两边积分得：lnu’(x)=一x+ln(2x一1)+lnC₁，即u’(x)=C₁(2x一1)e^—x．故u(x)=一C₁(2x+1)e^—x+C₂ 由条件u(一1)=e，u(0)=一1，得C₁=1，C₂=0，即u(x)=一(2x+1)e^x． y₁(x)，y₂(x)是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个线性无关的解，所以通解为y(x)=C₁e^x+C₂(2x+1)．

解析根据已知的关系式，变形得到关于u(x)的微分方程，解微分方程求得u(x)．

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考研数学三

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已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个解，若u(一1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

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