设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界．证明：微分方程yˊ+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

admin2016-09-13 47

问题设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界．证明：微分方程yˊ+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

选项

答案原方程的通解为、 y(x)=e^－ax(C+∫₀^xf(t)e^atdt)，设f(x)在[0，+∞)上的上界为M，即｜f(x)｜≤M，则当x≥0时，有 y(x)｜=｜e^－ax(C+∫₀^xf(t)e^atdt)｜ ≤｜Ce^－ax｜+e^－ax｜∫₀^xf(t)e^atdt ≤｜C｜+Me^－ax∫₀^xe^atdt =｜C｜+[*](1－e^－at) ≤｜C｜+[*]，即y(x)在[0，+∞)上有界．

解析

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