2. 考研
  3. 已知f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且在(a，b)内存在相等的最大值，又设f(a)=g(a),f(b)=g(b)，试证明：存在ξ∈(a，b)使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。

已知f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且在(a，b)内存在相等的最大值，又设f(a)=g(a),f(b)=g(b)，试证明：存在ξ∈(a，b)使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。

admin2016-03-16  91
问题 已知f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且在(a，b)内存在相等的最大值，又设f(a)=g(a),f(b)=g(b)，试证明：存在ξ∈(a，b)使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。
选项
答案令φ(x)=f9x)一g(x)，根据f(a)=g(a),f(b)=g(b)，则有φ(a)=φ(b)=0。设x1，x2∈(a，b)，且[*]，已知f(x)和g(x)在(a，b)内存在相等的最大值，因此f(x1)=g(x2)，于是φ(x1)=f(x1)一g(x1)≥0，φ(x2)=f(x2)一g(x2)≤0。如果φ(x1)=0或φ(x2)=0，则令η=x1，或x2，有φ(η)=0；如果φ(x1)＞0，φ(x2)＜0，根据零点定理，存在η∈(x1，x2)，使得φ(η)=0。此时φ(x)在[a，b]上有3个不同的零点a，η，b，在区间[a，η]和[η，b]上分别应用罗尔定理，则存在ξ1∈(a，η)，ξ2∈(a，b)，满足φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0，再在[ξ1，ξ2]上继续应用罗尔定理可知，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ’’(ξ)=0，即f’’(f)=g’’(ξ)。
解析
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考研数学三

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