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  3. 设f(x)是连续且单调递增的奇函数，设F(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则F(x)是( )

设f(x)是连续且单调递增的奇函数，设F(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则F(x)是( )

admin2017-11-30  50
问题 设f(x)是连续且单调递增的奇函数，设F(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则F(x)是(    )
选项 A、单调递增的奇函数。
B、单调递减的奇函数。
C、单调递增的偶函数。
D、单调递减的偶函数。
答案B
解析 令x－u=t，则
    F(x)=∫0x(x－2t)f(t)dt，F(－x)=∫0－x(－x－2t)f(t)dt，
令t=－u，  
F(－x)=－∫0x(－x+2u)f(－u)du=∫0x(x－2u)f(－u)du。
    因f(x)是奇函数，
   f(x)=－f(－x)，F(－x)=－∫0x(x－2u)f(u)du，
则有F(x)=－F(－x)为奇函数。
    F’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)，
由积分中值定理可得∫0xf(t)dt=f(ξ)x，ξ介于0到x之间，
    F’(x)=f(ξ)x－xf(x)=[f(ξ)－f(x)]x，
因为f(x)单调递增，当x＞0时，ξ∈[0，x]，f(ξ)－f(x)＜0，所以F’(x)＜0，F(x)单调递减；当x＜0时，ξ∈[x，0]，f(ξ)－f(x)＞0，所以F’(x)＜0，F(x)单调递减。所以F(x)是单调递减的奇函数。
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考研数学三

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