设f(x)是连续且单调递增的奇函数,设F(x)=∫0x(2u-x)f(x-u)du,则F(x)是( )

admin2017-11-30  32

问题 设f(x)是连续且单调递增的奇函数,设F(x)=∫0x(2u-x)f(x-u)du,则F(x)是(    )

选项 A、单调递增的奇函数。
B、单调递减的奇函数。
C、单调递增的偶函数。
D、单调递减的偶函数。

答案B

解析 令x-u=t,则
    F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt,F(-x)=∫0-x(-x-2t)f(t)dt,
令t=-u,  
F(-x)=-∫0x(-x+2u)f(-u)du=∫0x(x-2u)f(-u)du。
    因f(x)是奇函数,
   f(x)=-f(-x),F(-x)=-∫0x(x-2u)f(u)du,
则有F(x)=-F(-x)为奇函数。
    F’(x)=∫0xf(t)dt-xf(x),
由积分中值定理可得∫0xf(t)dt=f(ξ)x,ξ介于0到x之间,
    F’(x)=f(ξ)x-xf(x)=[f(ξ)-f(x)]x,
因为f(x)单调递增,当x>0时,ξ∈[0,x],f(ξ)-f(x)<0,所以F’(x)<0,F(x)单调递减;当x<0时,ξ∈[x,0],f(ξ)-f(x)>0,所以F’(x)<0,F(x)单调递减。所以F(x)是单调递减的奇函数。
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