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在曲面x2+y2+z2=1上求点P0(x0,y0,z0),使得函数u=x2-y2+4z2在点P0处沿函数f(x,y,z)=2xy+z2在该点处的梯度方向的方向导数最大,并求此最大方向导数的值.
在曲面x2+y2+z2=1上求点P0(x0,y0,z0),使得函数u=x2-y2+4z2在点P0处沿函数f(x,y,z)=2xy+z2在该点处的梯度方向的方向导数最大,并求此最大方向导数的值.
admin
2023-01-04
40
问题
在曲面x
2
+y
2
+z
2
=1上求点P
0
(x
0
,y
0
,z
0
),使得函数u=x
2
-y
2
+4z
2
在点P
0
处沿函数f(x,y,z)=2xy+z
2
在该点处的梯度方向的方向导数最大,并求此最大方向导数的值.
选项
答案
f(x,y,z)=2xy+z
2
在点P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)处的梯度为 gradf(x
0
,y
0
,z
0
)=(2y
0
,2x
0
,2z
0
), 取其单位向量l
0
=[*](y
0
,x
0
,z
0
)=(y
0
,x
0
,z
0
)(因x
0
2
+y
0
2
+z
0
2
=1). 又 [*] 故 [*]=(2x
0
,-2y
0
,8z
0
)·(y
0
,x
0
,z
0
)=8z
0
2
. 下面求函数z
2
在条件x
2
+y
2
+z
2
=1下的最大值. 令F=z
2
+λ(x
2
+y
2
+z
2
-1),则 [*] 当λ≠0时,解得x=0,y=0,z=1或x=0,y=0,z=-1;当λ=0时,解得z=0,故所求点P
0
为(0,0,1)或(0.0,-1),且[*]=8z
0
2
的最大值为8.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UagD777K
0
考研数学一
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