2. 考研
  3. 在曲面x2+y2+z2=1上求点P0(x0，y0，z0)，使得函数u=x2-y2+4z2在点P0处沿函数f(x，y，z)=2xy+z2在该点处的梯度方向的方向导数最大，并求此最大方向导数的值．

在曲面x2+y2+z2=1上求点P0(x0，y0，z0)，使得函数u=x2-y2+4z2在点P0处沿函数f(x，y，z)=2xy+z2在该点处的梯度方向的方向导数最大，并求此最大方向导数的值．

admin2023-01-04  9
问题 在曲面x2+y2+z2=1上求点P0(x0，y0，z0)，使得函数u=x2-y2+4z2在点P0处沿函数f(x，y，z)=2xy+z2在该点处的梯度方向的方向导数最大，并求此最大方向导数的值．
选项
答案f(x，y，z)=2xy+z2在点P0(x0，y0，z0)处的梯度为 gradf(x0，y0，z0)=(2y0，2x0，2z0)， 取其单位向量l0=[*](y0，x0，z0)=(y0，x0，z0)(因x02+y02+z02=1)． 又 [*] 故 [*]=(2x0，-2y0，8z0)·(y0，x0，z0)=8z02． 下面求函数z2在条件x2+y2+z2=1下的最大值． 令F=z2+λ(x2+y2+z2-1)，则 [*] 当λ≠0时，解得x=0，y=0，z=1或x=0，y=0，z=-1；当λ=0时，解得z=0，故所求点P0为(0，0，1)或(0．0，-1)，且[*]=8z02的最大值为8．
解析
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考研数学一

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