2. 考研
  3. 求圆x2+y2=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x2-2所围面积取最小值，并求此最小值．

求圆x2+y2=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x2-2所围面积取最小值，并求此最小值．

admin2018-06-27  78
问题 求圆x2+y2=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x2-2所围面积取最小值，并求此最小值．
选项
答案如图4．5，圆周的参数方程为x=cosθ，y=sinθ．圆周上[*]点(cosθ，sinθ)处切线的斜率是[*]，于是切线方程是 [*] 它与y=x2-2交点的横坐标较小者为α，较大者为β，则α，β是方程x2+xcotθ-2-[*]=0的根，并且切线与抛物线所围面积为 ∫αβ[-xcotθ+[*]-(x2-2)]dx =-∫αβ(x2+xcotθ-2-[*])dθ=-∫αβ(x-α)(x-β)dx =[*]∫αβ(x-α)d(x-β)2=[*]∫αβ(x-β)2dx=[*](β-α)3． 为求[*](β-α)3最小值，只要求(β-α)2最小值，由一元二次方程根与系数关系得 (β-α)2=(β+α)2-4αβ [*] 所以，当[*]+2=0时取最小值3．由 [*] 因此，所围面积最小值为 [*] 所求切线有两条： [*]
解析
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考研数学二

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