求圆x2+y2=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x2-2所围面积取最小值，并求此最小值．

admin2018-06-27 29

问题求圆x²+y²=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x²-2所围面积取最小值，并求此最小值．

选项

答案如图4．5，圆周的参数方程为x=cosθ，y=sinθ．圆周上[*]点(cosθ，sinθ)处切线的斜率是[*]，于是切线方程是 [*] 它与y=x²-2交点的横坐标较小者为α，较大者为β，则α，β是方程x²+xcotθ-2-[*]=0的根，并且切线与抛物线所围面积为 ∫_α^β[-xcotθ+[*]-(x²-2)]dx =-∫_α^β(x²+xcotθ-2-[*])dθ=-∫_α^β(x-α)(x-β)dx =[*]∫_α^β(x-α)d(x-β)²=[*]∫_α^β(x-β)²dx=[*](β-α)³．为求[*](β-α)³最小值，只要求(β-α)²最小值，由一元二次方程根与系数关系得 (β-α)²=(β+α)²-4αβ [*] 所以，当[*]+2=0时取最小值3．由 [*] 因此，所围面积最小值为 [*] 所求切线有两条： [*]

解析

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考研数学二

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求圆x2+y2=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x2-2所围面积取最小值，并求此最小值．

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设u=M(x，y)在全平面上有连续偏导数，若(x2+y2≥R2>0)，求证

设f(x，y)为连续函数，且，其中D：u2+v2≤a2(a>0)，则f(x，y)=___________．

试证明：当x>0时，存在θ(x)∈(0，1)，使得

设f(x)在[a，b]上有二．阶导数，且f’(x)>0．对(I)中的ξ∈(a，b)，求

设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t一sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)求证：由L的参数方程确定连续函数y=y(x)，并求它的定义域；

设函数f(x)在点x=1的某邻域内有定义，且满足3x≤f(x)≤x2+x+1，则曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程为________．

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