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求圆x2+y2=1的一条切线,使此切线与抛物线y=x2-2所围面积取最小值,并求此最小值.
求圆x2+y2=1的一条切线,使此切线与抛物线y=x2-2所围面积取最小值,并求此最小值.
admin
2018-06-27
59
问题
求圆x
2
+y
2
=1的一条切线,使此切线与抛物线y=x
2
-2所围面积取最小值,并求此最小值.
选项
答案
如图4.5,圆周的参数方程为x=cosθ,y=sinθ.圆周上[*]点(cosθ,sinθ)处切线的斜率是[*],于是切线方程是 [*] 它与y=x
2
-2交点的横坐标较小者为α,较大者为β,则α,β是方程x
2
+xcotθ-2-[*]=0的根,并且切线与抛物线所围面积为 ∫
α
β
[-xcotθ+[*]-(x
2
-2)]dx =-∫
α
β
(x
2
+xcotθ-2-[*])dθ=-∫
α
β
(x-α)(x-β)dx =[*]∫
α
β
(x-α)d(x-β)
2
=[*]∫
α
β
(x-β)
2
dx=[*](β-α)
3
. 为求[*](β-α)
3
最小值,只要求(β-α)
2
最小值,由一元二次方程根与系数关系得 (β-α)
2
=(β+α)
2
-4αβ [*] 所以,当[*]+2=0时取最小值3.由 [*] 因此,所围面积最小值为 [*] 所求切线有两条: [*]
解析
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考研数学二
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